4.2.1　第1课时　等差数列的概念（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 一、等差数列的概念 1．等差数列概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式是2A＝a＋b. 二、等差数列的通项公式 以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　 B．2n－4　　 C．6－2n　　 D．2n－6 C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．(教材练习2改编)x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于(　　) A．0　　 B．10　　 C．20　　 D．不确定 C　[因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10，所以x＋y＝20.] 4．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a　　 B．　　 C．　　 D． C　[由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.] 探究一　等差数列的概念 [知能解读]　对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列． [方法总结]　定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [训练1]　判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，… 解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 探究二　等差中项及应用 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. [方法总结]　三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [训练2]　已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________. 5　－1　－4　[因为8，a,2，b，c是等差数列，所以解得] [训练3]　已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝________. 　[由数列为等差数列，则有＋＝，可解得a5＝.] 探究三　等差数列的通项公式及应用 [知能解读]　等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p