7.2.4　诱导公式 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

7.2.4　诱导公式 课程标准 学科素养 掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. 通过对诱导公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点1　角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系 终边相同的角，同名三角函数值相等(“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同)．不难看出，α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，所以当k为整数时，有 [微体验] 1．sin 390°＝____________. 　[sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝.] 2．cos＝____________. 　[cos＝cos＝cos ＝.] 知识点2　角α与－α的三角函数值之间的关系 1．α和－α的终边关于角＝0的终边所在的直线(即x轴)对称． 2．用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，公式为： [微体验] 1．tan＝____________. －　[tan＝－tan ＝－.] 2．cos＝____________. 　[cos＝cos ＝cos＝cos ＝.] 知识点3　角α与π±α的三角函数值之间的关系 1．α和π－α的终边关于角＝的终边所在的直线(即y轴)对称． 2．角α与π±α的三角函数值之间的关系为： [微体验] 1．sin＝____________. 　[sin＝sin＝sin ＝.] 2．tan＝____________. －1　[tan＝－tan ＝－tan＝ －tan ＝－tan＝－tan ＝－1.] 知识点4　角α与－α的三角函数值之间的关系 1．α和－α的终边关于角＝的终边所在的直线(即直线y＝x)对称． 2．角α与－α的三角函数值之间的关系 3．推广公式 [微体验] 1．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin289°＝____________. 　[∵sin289°＝cos21°，sin21°＋cos21°＝1， …sin246°＝cos244°，sin244°＋cos244°＝1， 所以原式＝1×44＋sin245°＝44＋＝.] 2．已知sin α＝，则cos＝____________. －　[cos＝cos＝cos＝－sin α＝－.] 探究一　利用诱导公式求值 求下列各三角函数值． (1)sin；(2)cos ； (3)tan(－855°)；(4)sin. 解　(1)sin＝－sin＝－sin ＝－sin ＝－sin＝－sin＝－. (2)cos ＝cos＝cos＝－cos＝－. (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (4)sin＝sin＝sin ＝. [方法总结] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：将负角化为正角； (2)“大化小”：将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． [跟踪训练1]　求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 解　sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135° ＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45° ＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°sin(180°＋30°)－tan 45° ＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝×－×－1 ＝. 探究二　利用诱导公式化简 化简下列各式：(1)； (2)； (3). 解　(1)原式＝ ＝ ＝＝－cos2α. (2)原式＝ ＝ ＝＝－cos θ. (3)原式＝ ＝＝－sin θ. [方法总结] 用诱导公式化简的三个角度 (1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一． (2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少． (3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名． [跟踪训练2]　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求 的值． 解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，所以sin α＝－. 又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－.所以tan α＝. 所以原式＝ ＝tan α＝. 探究三　利用诱导公式证明恒等式 求证：＝－tan θ. 证明　原式左边＝＝－tan