2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.了解点到直线的距离公式的推导方法． 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题 3.初步掌握用解析法研究几何问题 【自主学习】 知识点一 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示： (3)公式：d＝. 知识点二 两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示： (3)求法：转化为点到直线的距离． (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 【合作探究】 探究一 点到直线的距离 【例1】(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离． ①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3. 解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0， 点P(2，－3)到该直线的距离为 ＝； ②3y＝4可化为3y－4＝0， 由点到直线的距离公式得＝； ③x＝3可化为x－3＝0， 由点到直线的距离公式得＝1. (2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程． 解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x＝－1， 恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等， 故x＝－1满足题意， 当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0. 由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得 ＝，解得k＝－， 此时l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二　由题意得l∥AB或l过AB的中点， 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB， 直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－， 此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 归纳总结：(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意． 【练习1】(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________． (2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为______． 【答案】　(1)[，]　(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 解析　(1)由题意知≤3， 解得≤a≤，故a的取值范围为[，]． (2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)， 即kx－y＋4－3k＝0， 由已知得＝， ∴k＝2或k＝－， ∴所求直线l的方程为 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. 探究二 两平行线间的距离 【例2】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_________． (2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________． 【答案】　(1)　(2)2x－y＋1＝0 解析　(1)由题意，得＝，∴m＝2， 将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0， 由两平行线间距离公式，得＝＝. (2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 由题意，得＝，解得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 归纳总结：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 【练习2】(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程． 解　(1)方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)， 则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 ＝， 由题意，得＝2，所以C＝32或C＝－20， 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5