2.3.1-2.3.2 两条直线的交点坐标与距离公式-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

2.3.1-2.3.2两条直线的交点坐标与距离公式 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间距离公式并会应用 【自主学习】 知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系 (1)两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l1 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 点A在直线l1上 A1a＋B1b＋C1＝0 直线l1与l2的交点是A (2)两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二 两点间的距离 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. 【合作探究】 探究一 代数法判断两直线的位置关系 【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 归纳总结：两条直线相交的判定方法 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二 两直线斜率都存在且斜率不相等 方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 【练习1】直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________． 【答案】　(1,2) 解析　联立两方程得解得 所以两直线的交点坐标为(1,2)． 探究二 根据交点求参数的值或其范围 【例2】已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 【答案】　(－，2) 解析　由得 由得∴－<a<2. 归纳总结：解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围． 【练习2】若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　) A．k>－ B．k<2 C．－<k<2 D．k<－或k>2 【答案】　C 解析　由得 由得 ∴－<k<2. 故选C. 探究三 求过两条直线交点的直线方程 【例3】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解　方法一　解方程组 得 所以两直线的交点坐标为(－，－)． 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为 (2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝. 代入(*)式，得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 归纳总结：求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程． 【练习3】直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 【答案】　B 解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0， 因为l过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x－y＝0. 探究四 两点间的距离公式及其应用 【例4】如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 解　(1)方法一　∵|AB|＝ ＝， |AC|＝＝， 又|BC|＝＝， ∴|AB|2＋|AC|2