8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.3 简单几何体的表面积与体积 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 旋转体 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2、体积公式 （1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. （2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh. （3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h. 3、球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝eq \f(4,3)πR3. 4、球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 题型一 棱柱的体积 例 1　底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】 根据棱柱体积公式求得结果. 【详解】 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是 故选：A 已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是 ，体对角线的长为 ，则这个长方体的体积是（ ） A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】A 【分析】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方求得a，则答案可求. 【详解】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a， 则有 ， 即 ，解得 ， ∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6， ∴这个长方体的体积是 ， 故选：A. 题型二 棱锥的表面积与体积 例 2　如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用棱锥的体积公式计算即可． 【详解】 三棱锥 的体积为： 故选：C 如图，在棱长为 的正方体 中，截去三棱锥 ，求 （1）截去的三棱锥 的表面积； （2）剩余的几何体 的体积. 【