第8讲 条件概率及独立事件-2020-2021学年高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）

考点一：条件概率与独立事件 条件概率的概念 定义 设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。用符号表示。 读作：发生的条件下B发生的概率。 在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率． P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别 P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。 P（B）是事件B发生的概率，无附加条件． 它们的联系是：． 一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。 例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得蓝球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故。 玻璃 木质 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故。 条件概率的公式 计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算． 先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式求解． ②利用缩小样本空间的观点计算． 在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而，即：，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 相互独立事件 定义： 事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。 相互独立事件同时发生的概率公式： 对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。 （1）若与是相互独立事件，则； （2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即：。 P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积． 两个事件、相互独立事件的充要条件是。 相互独立事件与互斥事件的比较 互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。 互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。 几种事件的概率公式的比较 已知两个事件A，B，它们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发生记为事件A·B，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系如下表所示： 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P（A+B） P（A）+P（B） P（A·B） 0 P（A）·P（B） 1－[P（A）+P（B）] P（A）+P（B） 1 1－P（A）·P（B） 题型一、条件概率 1．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”， 表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则 ． 2．甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传次球后回到甲手中的概率为，则可用表示为 ． 3．某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 A． B． C． D． 题型二、相互独立事件 1．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为 ； 2．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，和表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件．则下列结论①（B）；②；③