专题13不等式选讲-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题13 不等式选讲 1．已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 答案 （1）详解解析；（2） . 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象； （2）作出函数 的图象，根据图象即可解出． 【详解】 （1）因为 ，作出图象，如图所示： （2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示： 由 ，解得 ． 所以不等式 的解集为 ． 【点睛】 本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1） ； （2） ． 答案 （1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等式可证得 ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得 ，再次利用基本不等式可将式转化为 ，在取等条件一致的情况下，可得结论. 【详解】 （1） 当且仅当 时取等号 ，即： （2） ，当且仅当 时取等号 又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立） 又 【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立. 3．已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时不等式 成立，求 的取值范围. 答案．（1） ；（2） 【解析】 分析：(1)将 代入函数解析式，求得 ，利用零点分段将解析式化为 ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 的解集为 ； (2)根据题中所给的 ，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 可以化为 时 ，分情况讨论即可求得结果. 详解：（1）当 时， ，即 故不等式 的解集为 ． （2）当 时 成立等价于当 时 成立． 若 ，则当 时 ； 若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ． 综上， 的取值范围为 ． 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 4．已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围． 答案 （1） ；（2） ． 【详解】 试题分析：（1）分 ， ， 三种情况解不等式 ；（2） 的解集包含 ，等价于当 时 ，所以 且 ，从而可得 ． 试题解析：（1）当 时，不等式 等价于 .① 当 时，①式化为 ，无解； 当 时，①式化为 ，从而 ； 当 时，①式化为 ，从而 . 所以 的解集为 . （2）当 时， . 所以 的解集包含 ，等价于当 时 . 又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 . 所以 的取值范围为 . 点睛:形如 (或 )型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)图像法：作出函数 和 的图像，结合图像求解． 5．选修45：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x+1∣∣2x3∣. （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像； （Ⅱ）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集. 答案．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ） 的图像如图所示. （Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或； 当时，可得或， 故的解集为；的解集为， 所以的解集为. 【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法 【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式. 6．已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于6，求 的取值范围. 答案．（Ⅰ） （Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 试题分析： (Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为 ； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为 ，求解不等式 可得实数a的取值范围为 试题解析： （I）当 时， 化为 ， 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ． 所以 的解集为 ． （II）由题设可得， 所以函数 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ， 的面积为 ． 由题设得 ，故 ． 所以a的取值范围为