专题12极坐标与参数方程十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题12 极坐标与参数方程 1．在直角坐标系 中，曲线的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 答案．（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） . 【分析】 （1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论； （2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解. 【详解】 （1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 答案．（1） ； ；（2） 【分析】 （1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 （1）由 得： ，又 整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为： 则 上的点到直线 的距离 当 时， 取最小值 则 【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题. 3．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. 答案．(1) . (2) . 【解析】 分析：(1)就根据 ， 以及 ，将方程 中的相关的量代换，求得直角坐标方程； (2)结合方程的形式，可以断定曲线 是圆心为 ，半径为 的圆， 是过点 且关于 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果. 详解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 ． （1）若 ，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为 ，求 ． 答案．（1） ， ；（2） 或 ． 【解析】 试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点 ，由点到直线距离公式求参数． 试题解析：（1）曲线 的普通方程为 . 当 时，直线 的普通方程为 . 由 解得 或 . 从而 与 的交点坐标为 ， . （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 . 综上， 或 . 点睛: