专题11导数应用-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题11 高考真题导数应用 一、单选题 1．函数 的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 ．B 【分析】 求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 答案 ．D 【详解】 分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的斜率 ，进而求得切线方程. 详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 化简可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 3．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案．D 【分析】 设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围. 【详解】 设 ， ， 由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当 时， ；当 时， . 所以，函数 的最小值为 . 又 ， . 直线 恒过定点 且斜率为 ， 故 且 ，解得 ，故选D. 【点睛】 本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 4．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 答案 ．C 【解析】 试题分析：当 时， ，函数 有两个零点 和 ，不满足题意，舍去；当 时， ，令 ，得 或 ． 时， ； 时， ； 时， ，且 ，此时在 必有零点，故不满足题意，舍去；当 时， 时， ； 时， ； 时， ，且 ，要使得 存在唯一的零点 ，且 ，只需 ，即 ，则 ，选C． 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 5．已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 ．D 【分析】 作出函数 的图像，和函数 的图像，结合图像可知直线 介于 与 轴之间，利用导数求出直线 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】 由题意可作出函数 的图像，和函数 的图像. 由图像可知：函数 的图像是过原点的直线， 当直线介于 与 轴之间符合题意， 直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为 ， 求其导数可得 ，因为 ，故 ， 故直线 的斜率为 ， 故只需直线 的斜率 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：D 【点睛】 本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 6．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ） A． B． C． D． 答案 ．B 【详解】 由题意知函数y＝ ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ ex上点的最小距离的2倍．设y＝ ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则 ，∴x0＝ln 2，y0＝1， ∴点(x0，y0)到y＝x的距离为 ＝ (1－ln 2)， 则|PQ|的最小值为 (1－ln 2)×2＝ (1－ln 2)． 7．曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为 (A) (B) (C) (D)1 答案 ．D 【解析】 ，所以在点 处的切线方程为 ，它与 的交点为 ，与 的交点为 ，所以三角形面积为 二、填空题 8．曲线 在点 处的切线方程为___________． 答案 ． . 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】 详解： 所以， 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 9．已知函数 ，则 的最小值是_____________． 答案 ． 【解析】 分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的单调区间，减区间为 ，增区间为 ，确定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值. 详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间