专题10直线与圆、圆锥曲线-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题10 高考真题直线与圆、圆锥曲线 一、单选题 1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 答案 C 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即，解得 . 故选：C. 【点晴】 本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 D 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程． 【详解】 圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． 所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选：D. 【点睛】 本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 3．已知椭圆C的焦点为 ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为 A． B． C． D． 答案 B 【分析】 由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得 ，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解. 【详解】 法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ．在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 和 中，由余弦定理得 ，又 互补， ，两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 = A．5 B．6 C．7 D．8 答案 D 【分析】 首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】 根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ， 与抛物线方程联立 ，消元整理得： ， 解得 ，又 ， 所以 ， 从而可以求得 ，故选D. 【点睛】 该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 5．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 答案 B 【详解】 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到 ，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离公式求得 的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ， 从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ， 可以得出直线 的方程为 ， 分别与两条渐近线 和 联立， 求得 ， 所以 ，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 6．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 答案 A 【解析】 设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ，得 ，∴ EMBED Equatio