专题9立体几何-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题9 高考真题 立体几何 一、单选题 1．已知 为球的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 答案 A 【分析】 由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】 设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意， 得 ， EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形， 由正弦定理可得 ， ，根据球的截面性质 平面 ， ， 球 的表面积 . 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 答案 D 【分析】 先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一: 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， ， 为正方体一部分， ，即 ，故选D． 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为2的等边三角形， 又 EMBED Equation.DSMT4 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， 两两垂直， ， ， ，故选D. 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为（ ） A． B． C． D．2 答案 B 【分析】 首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】 根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺, 可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为 ，故选B. 点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 4．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B． C． D． 答案 A 【分析】 首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体 中， 平面 与线 所成的角是相等的， 所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为 ， 所以其面积为 ，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果. 5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 答案 B 【解析】 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 ，故选B. 点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π 答案 A 【解析】 试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示： 是一个球被切掉左上