专题6解三角形-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题6 高考真题 解三角形 一、填空题 1．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 答案 【分析】 在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值. 【详解】 ， ， ， 由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 2．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 答案 （ ， ） 【解析】 如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知， ，即 ，解得BF= ，所以AB的取值范围为（ ， ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 3．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________． 答案 【解析】 试题分析：由，且，故 ，又根据正弦定理，得 ，化简得， ，故 ，所以 ，又 ，故 ． 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式． 二、解答题 4． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ． （1）求A； （2）若 ，求sinC． 答案 （1） ；（2） . 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根据 可求得结果；（2）利用正弦定理可得 ，利用 、两角和差正弦公式可得关于 和 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】 （1） 即： 由正弦定理可得： （2） ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： 解得： 或 因为 所以 ，故 . （2）法二： ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： ，即 由 ，所以 . 【点睛】 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 5．在平面四边形 中， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 答案 （1） ；（2） . 【分析】 （1）根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得 ； （2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得 ，之后在 中，用余弦定理得到 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】 （1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 ； （2）由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 【点睛】 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. 6．△ABC的内角 的对边分别为 ,已知△ABC的面积为 (1)求 ; (2)若 求△ABC的周长. 答案 (1) (2) . 【解析】 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式 ，再利用正弦定理将边化成角，从而得出 的值；（2）由 和 计算出 ，从而求出角 ，根据题设和余弦定理可以求出 和 的值，从而求出 的周长为 . 试题解析：（1）由题设得 ，即 . 由正弦定理得 . 故 . （2）由题设及（1）得 ，即 . 所以 ，故 . 由题设得 ，即 . 由余弦定理得 ，即 ，得 . 故 的周长为 . 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如 ，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 答案 （1）（2） 【解析】 【详解】 试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，