专题5三角恒等变换与三角函数-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题5 高考真题 三角恒等变换与三角函数 一、单选题 1．设函数 在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 答案 C 【分析】 由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】 由图可得：函数图象过点 ， 将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点， 所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 2．已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 答案 A 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 【点睛】 本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 3．将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A． B． C． D． 答案 D 【详解】 函数 的周期为 ， 将函数 的图象向右平移 个周期即 个单位， 所得图象对应的函数为 ， 故选D. 4．(2015新课标全国Ⅰ理科) = A． B． C． D． 答案 D 【解析】 原式= = = ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 5．函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 答案 D 【解析】 由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令 ，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为（ ， ）， ，故选D. 考点：三角函数图像与性质 6．设 且 则（ ） A． B． C． D． 答案 C 【解析】 试题分析：由已知得， ，去分母得， ，所以 ，又因为 ， ，所以 ，即 ，选 考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式． 7．已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A 【详解】 由题意可得, ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ．故A正确． 考点：三角函数单调性． 8．设函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原图象重合，则 的最小值等于（） A． B．3 C．6 D．9 答案 C 【分析】 根据平移可得 ，然后令 ，可得结果. 【详解】 由题可知： 平移之后函数表达式为 由该函数图像与函数 图像重合， 所以 ， 则 ，又 ， 所以当 时， 的最小值为 故选：C 【点睛】 本题考查三角函数的平移知识，以及余弦函数的周期，关键在于重合的条件，相当于加上的是周期，属基础题. 二、填空题 9．已知函数 ，则 的最小值是_____________． 答案 【解析】 分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的单调区间，减区间为 ，增区间为 ，确定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值. 详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，所以 ，故答案是 . 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 10．已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ– ）= . 答案 【分析】 由题求得θ 的范围，结合已知求得cos（θ ），再由诱导公式求得sin（ ）及cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ ）的值． 【详解】 解：∵θ是第四象限角， ∴ ，则 ， 又sin（θ ） ， ∴cos（θ ） ． ∴cos（ ）＝sin（θ ） ，sin（ ）＝cos（θ ） ． 则tan（θ ）＝﹣tan（ ） ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 11．设当 时，函数 取得最大值，则 ______. 答案 ； 【解析】 f(x)＝sin x－2cos x＝ EMBED Equation.DSMT4 ＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝ ，cos φ＝ ，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋ ＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－ . 12．已知 ， ，则 _________. 答