专题4基本初等函数的图像与性质-十年（2011-2020年）全国1卷高考数学（理）真题章节汇编

专题4 高考真题 基本初等函数图像与性质 1．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 答案 D 【分析】 先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又 EMBED Equation.DSMT4 ．故选D． 【点睛】 本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 2．关于函数 有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案 C 【分析】 化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】 为偶函数，故①正确．当 时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点： ；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当 时， ；当 时， ，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C． 【点睛】 画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C． 3．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 答案 D 【详解】 分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的斜率 ，进而求得切线方程. 详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 化简可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 4．已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 答案 C 【解析】 分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉， 再画出直线 ，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程 有两个解， 也就是函数 有两个零点， 此时满足 ，即 ，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 5．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 答案 D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数， ，即 则有 ，解得 ，故选D. 【点睛】 解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为 ，再利用单调性继续转化为 ，从而求得正解. 6．函数 在 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 答案 D 【详解】 试题分析：函数 |在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 轴对称， 因为 ， 所以排除 选项； 当 时， 有一零点，设为 ，当 时， 为减函数， 当 时， 为增函数． 故选：D. 7．若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 答案 C 【解析】 试题分析： 对 恒成立， 故 ，即 恒成立， 即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 8．设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 D 【分析】 设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足 ，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且 ，由此可得出实数 的取值范围. 【详解】 设 ，