2.3.1 向量的数乘运算 (课件PPT)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§3　从速度的倍数到向量的数乘 第二章　平面向量及其应用 3.1　向量的数乘运算 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 课程内容标准 学科素养凝练 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，了解向量数乘的运算性质. 通过学习向量的数乘运算，提升数学抽象及数学运算素养. 栏目索引 课前 预习案 课堂  探究案 冲关  演练案 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 相同 相反 课前 预习案 1．向量数乘的概念 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向____； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向____； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘． 由向量数乘的定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是eq \f(a,|a|). 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 2．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a、b为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： (1) (λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若λa＝0，则λ＝0. (　　) (2)0·eq \o(AB,\s\up15(→))＝0. (　　) 答案　(1)×　(2)× 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B A 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a　　　　 B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b 3．(教材P89练习2改编)化简：2(3a＋4b)－7a＝________. 答案　－a＋8b 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 探究一　向量数乘的定义 　 课堂  探究案 [知能解读]　对向量数乘的四点说明 1．λa中实数λ叫作向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义：把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 已知a，b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的eq \f(2,3)； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 解　(1)真命题．理由：2a＝a＋a与a方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．理由：－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，－a与a反方向，故－2a与3a反方向． 又|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的eq \f(2,3). (3)真命题．理由：－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量． (4)假命题．理由：－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，故－(b－a)与a－b是相等的． 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B [方法总结]　实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关． 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 答案 ABCD　 解析 [由λ与向量a的积λa的方向规定易知，A，B正确．对于命题C，D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa都与a同向，或者都与a反向．∴λa与μa同向．当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向．故C，D也正确．] [训练1]　(多选题)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中正确的命题是(　　) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 返回导航 第二章　平面向量及其应用 数学　必修　第二册　B 探究二　向量的线性运算 (1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝________. 答案 9a　 解析 [原式＝18a＋3b