专题二 数列求和-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

专题二--数列求和 【合作探究】 探究一 分组求和 【例1】已知在等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1）an=2n，n∈N*（2）1-+n2 【解析】（1）等比数列{an}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2， 即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则an=a1qn-1=2n，n∈N*； （2）=+2log22n-1=+2n-1， 则数列{bn}的前n项和Sn=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2． 归纳总结： 【练习1】在公差为2的等差数列中，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵的公差为, ∴,. ∵,,成等比数列, ∴, 解得, 从而. （2）由（1）得, . 探究二 裂项相消求和 【例2】已知数列的前项和为，若，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）①， 当时，，解得当时，②， ①减去②得， 整理得，即，，，， 以上各式相乘得，又，所以， （2）由（1）得， ， 归纳总结： 【练习2】已知数列满足，. （1）求，的值 （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，求证：，. 【答案】（1）,（2）（3）证明见解析 【解析】（1）由 当时，，即. 当时，，解得. （2）∵①， ∴当时，② ①－②，∴， 由（1），即上式当时也成立. 因此，的通项公式为； （3）由（2）得， ∴ ∵单调递增，∴当时取最小值， ∵，，∴，即.因此，. 探究三 错位相减求和 【例3】已知等差数列公差不为零，且满足：，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由成等比数列得即, 解得或（舍）,所以 , （2）由（1）知所以 所以 两式相减得：   所以. 归纳总结： 【练习3】在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上， ，. ，， ，数列是以为首项，以为公比的等比数列. 数列的通项公式为； （2）由于， ，① ，② ①②得. 探究四 奇偶并项求和 【例4】已知数列的前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和. 【答案】(1) ；(2). 【解析】（1）由得， 于是是等比数列.令得，所以. （2）， 于是数列是首项为0，公差为1的等差数列. ， 所以. 归纳总结： 【练习4】已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）对任意，有，① 当时，有，解得或. 当时，有.② ①-②并整理得. 而数列的各项均为正数，. 当时，， 此时成立； 当时，，此时，不成立，舍去. ，. （2） . 探究五 倒序相加法求和 【例5】已知函数（），正项等比数列满足，则 。 【答案】 【解析】因为函数（）， 正项等比数列满足， 则。 归纳总结： 【练习5】已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 。 【答案】 【解析】由题已知是上的奇函数故， 代入得： ∴函数关于点对称，令，则，得到． ∵， 倒序相加可得，即 探究六 其他求和方法 【例6】为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列的前1000项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893. 【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 （Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 归纳总结： 【练习6】已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） , 解得，，， , 依题意，，. （2）是周期的数列 , ，，， , ，，， , 从而，，……， 所以是周期为4的数列, （）. A组 基础题 1.设数列的前项和为，已知. （1）求通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， ∴， ∴， 由得， ∴， 从而知， 又当时，也符合， 故； （2）∵， ∴ ． 2.已知等差数列的前项和为，公差，且，、、成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)