4.3.2 等比数列前n项和2课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列前n项和（2课时） 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.会用错位相减法求和． 【自主学习】 知识点1 等比数列前n项和公式的函数特征 等比数列的通项公式还可以改写为， 当且时，是指数函数，是指数型函数， 因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点． 知识点2 等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和， 则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋… －a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 知识点3 错位相减法 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时， 一般使用如下方法： Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， ① qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq ＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1， ② ①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1 ＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d－anbn＋1， ∴Sn＝＋d. 上述方法称为“错位相减法”． 【合作探究】 探究一 等比数列前n项和公式的函数特征 【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 【答案】　B 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式， ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴＝a， ∴数列{an}是等比数列． 归纳总结： 【练习1】若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. 【答案】　－ 解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又Sn＝·3n＋t，∴t＝－. 探究二 等比数列前n项和的性质 【例2】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝. ③ 将③代入①得＝64， 所以S3n＝＝64×＝63. 归纳总结： 【练习2】设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________. 【答案】　27－2 解析　∵ ∴是首项为b2，公比为2的等比数列． ∴＝＝27－2. 探究三 错位相减法求和 【例3】求数列{}的前n项和． 解　设Sn＝＋＋＋…＋， 则有Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－， 即Sn＝－＝1－－. ∴Sn＝2－－＝2－. 归纳总结： 【练习3】求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)． 解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝－nxn＋1， ∴Sn＝－. 综上可得Sn＝ 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) A．190 B．191 C．192 D．193 【答案】　C 解析　设最底层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7， 由＝381，解得a1＝192. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　C 解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－， 由Sn＝A(qn－1)，得＝， ∴x＝，故选C. 方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即2x·3－1＝x－， 解得x＝. 3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为(　　) A．180 B．108 C．75 D．63 【答案】　D 解析　由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，即S21－S14＝3，∴S21＝63. 4．