4.3.2 等比数列前n项和1课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列前n项和（1课时） 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 【自主学习】 知识点1 等比数列前n项和公式的推导 设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得． Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ② 由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝. 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. 结合通项公式可得： 等比数列前n项和公式：Sn＝ 知识点2 等比数列前n项和公式的应用 (1) 一定不要忽略q＝1的情况； (2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用； 知道首尾两项a1，an和q，可以用； (3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 【合作探究】 探究一 前n项和公式的直接应用 【例1】求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解　(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0， 可得q＝－.所以S8＝＝. 归纳总结： 【练习1】若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 【答案】　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. 因此Sn＝＝2n＋1－2. 探究二 通项公式、前n项和公式的综合应用 【例2】在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得S3＝＝＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. 归纳总结： 【练习2】在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 解　方法一　由题意知 解得或 从而Sn＝＝(5n－1) 或Sn＝＝，n∈N*. 方法二　若q＝1，则S3∶S2＝3∶2， 而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以 两式作比，得＝， 解得或 从而Sn＝＝(5n－1) 或Sn＝＝，n∈N*. 探究三 等比数列前n项和的实际应用 【例3】借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数) 解　方法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝… ＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， a＝.因为1.016≈1.061， 所以a≈≈1 739(元)． 故每月应支付1 739元． 方法二　一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)， 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝＝a[1.016－1]×102(元)． 由S1＝S2，得a＝≈1 739(元)． 故每月应支付1 739元． 归纳总结： 【练习3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度， 由题意，得an＋1＝an， 因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列． 热气球在前n分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ＝＝125×<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 解析　当x＝1时，Sn＝n； 当x≠1时，Sn＝.