4.2.2 等差数列前n项和2课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列前n项和（2课时） 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an. 【自主学习】 知识点1 数列中an与Sn的关系 对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为 an＝ 知识点2 等差数列前n项和的最值 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关． (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值； 若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值． 【合作探究】 探究一 已知数列{an}的前n项和Sn求an 【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知 Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)， 当n>1时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)] ＝2n－， ① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－. 故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列． 归纳总结： 【练习1】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 解　当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1. 当n＝1时， 代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3. ∴an＝ 探究二 等差数列前n项和的最值 【例2】已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值． 解　方法一　由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－， 所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋. 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值． 方法二　an＝a1＋(n－1)d ＝5＋(n－1)× ＝－n＋. 令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0. 故前n项和是从第9项开始减小又S7＝S8， 所以前7项或前8项和最大． 归纳总结： 【练习2】在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值． 解　方法一　∵an＝2n－14， ∴a1＝－12，d＝2. ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. ∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值． 易求S6＝S7＝－42， ∴(Sn)min＝－42. 方法二　∵an＝2n－14， ∴a1＝－12. ∴Sn＝＝n2－13n＝2－. ∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42. 探究三 求等差数列前n项的绝对值之和 【例3】若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解　∵a1＝13，d＝－4， ∴an＝17－4n. 当n≤4时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d ＝13n＋×(－4) ＝15n－2n2； 当n≥5时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×－(15n－2n2) ＝56＋2n2－15n. ∴Tn＝ 归纳总结： 【练习3】已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式． 解　由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N*)． 验证a1＝9也符合上式． ∴an＝11－2n，n∈N*. ∴当n≤5时，an>0， 此时Tn＝Sn＝－n2＋10n； 当n>5时，an<0， 此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 即Tn＝ 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．17 【答案】　A 解析　a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7. 2．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　) A．10 000 B．8 000 C．9 000 D．11 000 【答案】　A 解析　由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝ ＝50×(25＋75＋100)