4.2.2 等差数列前n项和1课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个 【自主学习】 知识点1 等差数列前n项和公式的推导 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]； Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]． 两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)， 由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝. 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， 代入上式可得Sn＝Sn＝na1＋d 知识点2 等差数列前n项和公式的特征 等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形： (1)Sn＝n·； (2)Sn＝n2＋(a1－)n； (3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)． 知识点3 等差数列前n项和公式的性质 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和， 则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (2)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. (3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)， 则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，＝. 【合作探究】 探究一 等差数列前n项和公式的应用 【例1】已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解　方法一　由题意知S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式Sn＝na1＋d， 得到 解方程组得 ∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n. 方法二　S10＝＝310⇒a1＋a10＝62， ① S20＝＝1 220⇒a1＋a20＝122， ② ②－①得a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n. 归纳总结： 【练习1】在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解　由 得 解方程组得或 探究二 等差数列前n项和实际应用 【例2】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． 归纳总结： 【练习2】甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意， 有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0. 解之得n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，依题意， 有2n＋＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－420＝0. 解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 探究三 等差数列前n项和的性质的应用 【例3】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值． 解　(1)方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 方法二　在