4.1 数列的概念及其表示2课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念及其表示法（2课时） 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 【自主学习】 知识点1 递推公式 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法． 知识点2 数列的表示法 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法． 知识点3 数列的单调性 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． (1)若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； (2)若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； (3)若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． 【合作探究】 探究一 数列的函数特性 【例1】图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象． 解　如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)． 归纳总结： 【练习1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是________． 答案　55 解析　三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究二 根据数列的递推公式写出数列的项 【例2】设数列{an}满足 写出这个数列的前5项． 解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝. 引申探究 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 016. 解　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1. 故{an}是周期为4的数列． ∴a2 016＝a4×503＋4＝a4＝. 归纳总结： 【练习2】在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项． 解　a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 探究三 由递推公式求通项 【例3】(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an； (2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an. 解　(1)n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)n≥2时，an＝a1···…· ＝1···…·＝. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝. 归纳总结： 【练习3】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？ 解　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2， a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…. 发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6， 证明如下：∵an＋2＝an＋1－an， ∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an. ∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an. ∴数列{an}是周期数列，且T＝6. ∴a2 016＝a335×6＋6＝a6＝－1. 探究四 数列的性质 命题方向1 数列的单调性 【例4-1】设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． [答案]　2<a<3 [分析]　分段