6.2.3 向量的数乘运算-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算及其几何意义 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题 【自主学习】 知识点1 向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa， 其长度与方向规定如下：21·世纪* (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 知识点2 向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. 知识点3 共线向量定理 向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识点4 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b， 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【合作探究】 探究一 向量的数乘运算 【例1】计算： (1)(－3)×4a； (2)3(a＋b)－2(a－b)－a； (3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)． 解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a； (2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b； (3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. 归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 【练习1】跟踪训练1　计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b. 探究二 用已知向量表示未知向量 【例2】如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. [分析]　利用向量的加法和数乘运算进行化简． [解]　设＝x，则＝x，＝e1－x， ＝＝＝e1－x. 由＋＝，得x＋e1－x＝e2， 解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1. 由＝－，＝e1－x， 得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2. 归纳总结：由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 【练习2】如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量. 解：连接AM并延长交BC于D点． ∵M是△ABC的重心， ∴D是BC的中点，且AM＝AD. ∴＝＝(＋) ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(b－a)＋(c－b) ＝－a＋b＋c. ∴＝＋＝a＋ ＝(a＋b＋c)． 探究三 向量共线定理的应用 【例3-1】已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？ 解　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)， 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0， 因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在， 所以a与b不共线． 【例3-2】已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A、B、D三点共线．【来源：21cnj*y.co*m】 证明　∵＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2， ∴＝＋＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2) ＝10e1＋15e2. 又∵＝2e1＋3e2，∴＝5， ∴、共线，且有公共点B.∴A、B、D三点共线． 归纳总结：　(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值． (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线． 【练习3-1】已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：，共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 解　(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e