1.3 弧度制 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§3　弧度制 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解任意角的弧度制，能进行弧度与角度的互化． 2．体会引入弧度制的必要性. 通过学习弧度制与角度制的换算进一步提升数学抽象及数学运算素养. 一、弧度制 1．单位圆：半径为 单位长度1 的圆． 2．弧度与弧度制的定义 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号 rad 表示，读作 弧度 .在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以 弧度 作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 一般地，弧度与实数 一一 对应，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 .零角的弧度数是0. 二、弧度与角度的换算 1．常见角度与弧度互化公式如下： 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ 2π rad 2π rad ＝ 360° 180°＝ π rad π rad＝ 180° 1°＝eq \f(2π,360) rad＝eq \f(π,180) rad ≈0.017 45 rad 1 rad＝eq \f(360°,2π)＝eq \f(180°,π) ≈ 57°18′ 2.圆心角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长l＝eq \f(|n|,360)·2πr.又此时角A的弧度数α＝eq \f(n,360)·2π，因此，l＝|α|r，即|α|＝eq \f(l,r).即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的 弧长 与 半径 之比． 三、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 A为弧度制 扇形的弧长 l＝eq \f(|α|πR,180) l＝ |α|·R 扇形的面积 S＝eq \f(|α|πR2,360) S＝eq \f(1,2)l·R＝eq \f(1,2)|α|·R2 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)1 rad的角和1°的角大小相等． (　　) (2)用弧度来表示的角都是正角． (　　) (3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关． (　　) (4)半径为1的圆弧中，60°角所对的圆弧长为60°. (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．与30°终边相同的角为 (　B　) A．2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z) B．2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z) C．360°k＋eq \f(π,3)(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z) 3．(教材P12练习6改编)一个扇形的半径为2 cm，圆心角为eq \f(π,6)，则该扇形所对的弧长l＝ ________ cm. 答案　eq \f(π,3) 探究一　角度制与弧度制的互化 [知能解读]　角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点 1．原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \f(180°,π)进行换算． 2．方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·eq \f(180°,π)；n°＝n·eq \f(π,180) rad. 3．注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5). 解　(1)20°＝20×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,9) rad. (2)－15°＝－15×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(π,12) rad. (3)eq \f(7π,12) rad＝eq \f(7π,12)×eq \f(180°,π)＝105°. (4)－eq \f(11π,5) rad＝－eq \f(11π,5)×eq \f(180°,π)＝－396°. [方法总结]　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，直接用角度数乘eq \f(π,180)即可．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘eq \f(180°,π)即可． [训练1]　将下列各角度与弧度互化： (1)eq \f(5π,12)；(2)－eq \f(7π,6)；(3)－157°30′. 解　(1)eq \f(5π,12)＝eq \f(5π,12)×eq \f(180°,π)＝75°； (2)－eq \f(7π,6)＝－eq \f(7π,6)×eq \f(180°,π)＝－210°； (3)－157°30′＝－1