2.3.1 向量的数乘运算 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 课程内容标准 学科素养凝练 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，了解向量数乘的运算性质. 通过学习向量的数乘运算，提升数学抽象及数学运算素养. 1．向量数乘的概念 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘． 由向量数乘的定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是eq \f(a,|a|). 2．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a、b为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： (1) (λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若λa＝0，则λ＝0.(　　) (2)0·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)× 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　A　) A．b＝2a　　　　 B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b 3．(教材P89练习2改编)化简：2(3a＋4b)－7a＝________. 答案　－a＋8b 探究一　向量数乘的定义 [知能解读]　对向量数乘的四点说明 1．λa中实数λ叫作向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义：把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 已知a，b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的eq \f(2,3)； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解　(1)真命题．理由：2a＝a＋a与a方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．理由：－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，－a与a反方向，故－2a与3a反方向． 又|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的eq \f(2,3). (3)真命题．理由：－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量． (4)假命题．理由：－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，故－(b－a)与a－b是相等的． [方法总结]　实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关． [训练1]　(多选题)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中正确的命题是(　　) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 ABCD　[由λ与向量a的积λa的方向规定易知，A，B正确．对于命题C，D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa都与a同向，或者都与a反向．∴λa与μa同向．当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向．故C，D也正确．] 探究二　向量的线性运算 (1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝________. 9a　[原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.] (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝__________. 4b－3a　[由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0.故x＝4b－3a.] [变式]　已知eq \f(1,12)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]，试将其化为最简形式． 解　原式＝eq \f(1,12)(4a＋16b－16a＋8b) ＝eq \f(1,12)(－12a＋24b)＝－a＋2b. [方法总结]　 1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．向量也可以通过列方程或方程组求解，同时在运算过程中多观察，恰当运用运算律以简化运算． [训练2]　(1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝______________. －10a＋4b