初高中教材衔接 第2课时 方程与函数 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　方程与函数 一、一元二次方程 1．根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法将其变形为ax2＋bx＋c＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(b,a)x))＋c＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(b,a)x＋\f(b2,4a2)))＋ c－eq \f(b2,4a)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)＝0， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq \f(b2－4ac,4a2).① 因为a≠0，所以4a2＞0.于是 (1)当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1,2＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)； (2)当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)； (3)当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为(　　) A．k≥0　　　　　　　 B．k≥0且k≠2 C．k≥eq \f(3,2) D．k≥eq \f(3,2)且k≠2 D　[∵关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k－6＝0有实数根， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－2≠0，,Δ＝－2k2－4k－2k－6≥0，)) ∴解得k≥eq \f(3,2)且k≠2.] [训练1]　已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,4)))　[∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2＋3)＝－4k＋1－12＞0，解得k＜－eq \f(11,4).] 2．根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根 x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)， 则有x1＋x2＝eq \f(－b＋ \r(b2－4ac),2a)＋eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a) ＝eq \f(－2b,2a)＝－eq \f(b,a)； x1x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(b2－b2－4ac,4a2) ＝eq \f(4ac,4a2)＝eq \f(c,a)． 所以一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a).这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q, 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0.由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，因此x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根．因此以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 解　方法一　∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7． ∴方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－eq \f(3,5)． ∴方程的另一个根为－eq \f(3,5)，k的值为－7． 方法二　设方程的另一个根为x1，则2x1＝－eq \f(6,5)， ∴x1＝－eq \f(3,5).由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋2＝－eq \f(k,5)，得 k＝－7． ∴方程的另一个根为－eq \f(3,5)，k的值为－7． [训练2]　已知两个数的和为4，