专题1.10圆的性质与计算及综合问题精讲精练-2020-2021学年九年级数学上学期期末考试高分直通车【北师大版】

2020-2021学年九年级数学上学期期末考试高分直通车【北师版】 专题1.10圆的性质与计算及综合问题精讲精练 【目标导航】 【知识梳理】 一、圆的有关定义 1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 二、垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧. 3、圆的对称性 （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. （3）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.[来源:Z_xx_k.Com] 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网 四、圆周角定理 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 五、圆内接四边形： （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 六、圆的有关位置关系： 1.点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外. 2.直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r； 直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r； 直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r； 3．切线的判定和性质 ： （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如右图中，OD垂直于切线. 4．切线长定理 ： （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. （2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. （3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补. (4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆.三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心. 七、弧长、扇形 1、弧长公式 n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 2、扇形面积公式 其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长. 【典例剖析】 【考点1】圆的认识 【例1】（2019•资中县一模）下列说法中，不正确的是（　　） A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得． 【解析】A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； B．圆有无数条对称轴，正确； C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误； D．圆的对称中心是它的圆心，正确； 故选：C． 【变式1.