练习12 导数及其应用（2）-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

导数及其应用（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知函数. 求的极值； 求在上的最小值. 2．已知函数，. （1）当时，求的单调区间与最值； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围. 3．已知为实数，函数 （1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围； （2）若，对任意，，不等式恒成立，求的最小值． 4．设函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围. 5．已知函数（）. （I）若，求曲线在点处的切线方程； （II）若在上无极值点，求的值； （III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由. 6．已知函数，其中a为正实数． （1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，求证：． 7．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 8．已知函数，其中. （1）若在上存在极值点，求a的取值范围； （2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；当时，有最小值；当时，有最小值；当时，有最小值. 【分析】 先求出，然后分和两种情况分别讨论的极值； 结合中得出的函数单调性，并分和两种情况分别讨论，即可得出结果. 【详解】 解：由可知定义域为，则. 当时，恒成立，则在上单调递减，无极值； 当时，令，解得. 则时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有极小值，即极小值为. 综上所述，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值. 当时，由可知在上单调递减， 所以当时，有最小值. 当时，由可知在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 所以当时，有最小值. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有最小值. 当，即时，在上单调递减， 所以当时，有最小值. 综上所述，当时，有最小值；当时，有最小值；当时，有最小值. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值以及最值，考查运算能力，分析问题能力，属于中档题. 2．（1）函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：；（2）. 【分析】 （1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的最值； （2）在上单调递增，则恒成立，分离参数，即可求得的取值范围. 【详解】 解：（1）当时，，. 令，即，解得：； 令，即，解得：； 在时取得极小值，亦为最小值，即. 当时，函数的单调增区间是，递减区间为，的最小值为：； （2），. 在上单调递增，恒成立， 即，恒成立. 时，，. 即的取值范围为. 【点睛】 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键将单调性问题转化为导数大于等于0恒成立，利用分离参数法求得实数的取值范围是常用的方法. 3．（1）；（2）. 【分析】 （1）函数的图象上有与轴平行的切线，即有实数解，利用判别式大于等于零解出的取值范围； （2）由可得值，令解出方程根，得出函数的单调性和最值，代入不等式可得的取值范围，进而得出的最小值． 【详解】 （1）． 由题意知有实数解． ，即或．故 （2），，即． ，令得，． 则在单调递减，在单调递增， 当时，，，， ，． 故，时， 所以，即的最小值为． 【点睛】 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是将恒成立，转化为求的最大值，即求，代入不等式可得参数的最小值，考查了学生转化思想和计算能力，属于中档题． 4．（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【分析】 （1）先对求导，对导函数分和两种情况讨论即可. （2）因为函数在处取得最大值，所以，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可. 【详解】 解：（1）， 当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得或， 所以的单调递增区间为和 令，得， 所以的单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由题意得. 因为函数在处取得最大值， 所以， 即， 当时，显然成立. 当时，得， 即. 令，则， 恒成立，所以 是增函数，， 所以，即， 所以a的取值范围为. 【点睛】 思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可. 5．（1）； （2）