练习09 抛物线-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

抛物线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由抛物线的方程直接求解焦点坐标即可． 【详解】 抛物线开口向下，焦点坐标为 故选：C 2．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得，再由，可得，进而由即可求解. 【详解】 由题意可得， 又，可得， 因为， 所以双曲线的方程为. 故选：A 3．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】 将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】 将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D 4．若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】 由抛物线的定义得出，将点坐标代入方程可得． 【详解】 由题意，，，则，解得 故选：D 5．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】 设抛物线焦点为，由题意，利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案. 【详解】 抛物线的焦点，准线， 连接，， 由抛物线定义， ， 当且仅当三点共线时，取“＝”号， ∴的最小值为. 故选：A. 6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（ ） A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 【答案】D 【分析】 根据AB⊥x轴，且AB过点F，易知|AB|＝2p，再由S△CAB＝×2p×求解即可. 【详解】 因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p， 所以S△CAB＝×2p× 解得p＝4或－12(舍)， 所以抛物线方程为y2＝8x， 所以直线AB的方程为x＝2， 所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x. 故选：D. 7．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】 将直线的方程和抛物线的方程联立，消去得到关于的一元二次方程， 将用，表示出来，再利用韦达定理化简即可． 【详解】 由得，． 可得直线方程为， 联立，消去得． 设，，，，则，． 又，， 所以． 故． 故选：． 8．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】 根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解. 【详解】 由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知. 由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切. 设所在的直线方程为：，联立抛物线方程： ，整理得： 则，解得 即，解得，代入得 或，再利用焦半径公式得 故选：B. 二、填空题 9．已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=________. 【答案】6 【分析】 由M为FN的中点求出的长度，利用抛物线定义有，即可求|FN|. 【详解】 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P， ∴PM//OF. 由题意知，F(2,0)，|FO|=|AO|=2. ∵点M为FN的中点，PM//OF， ∴|MP|= |FO|=1，又|BP|=|AO|=2， ∴|MB|=|MP|+|BP|=3. 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3， 故|FN|=2|MF|=6. 故答案为：6 10．设F为抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若F是三角形的重心，则_________． 【答案】 【分析】 由题意得是三角形的重心，故，再由抛物线的定义可得. 【详解】 抛物线的焦点坐标，准线方程：， 设， 由F是三角形的重心， 则， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 故答案为：. 11．设抛物线：()的焦点为