专题07 圆锥曲线的综合性质（定点、定值、最值、范围）（文）（知识点串讲）-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（人教A版）（串讲篇）

专题07 圆锥曲线的综合性质（定点、定值、最值、范围） 知识网络 重难点突破 知识点一 定点问题 例1．已知椭圆 经过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使 ，求证：点 在定直线上. 【变式训练1-1】、（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟）已知以动点 为圆心的 与直线 ： 相切，与定圆 ： 相外切. （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程 ； （Ⅱ）过曲线 上位于 轴两侧的点 、 （ 不与 轴垂直）分别作直线 的垂线，垂足记为 、 ，直线 交 轴于点 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，且 ，证明：直线 过定点. 知识点二 定值问题 例2．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ，M是椭圆E上的一个动点，且 的面积的最大值为 . （1）求椭圆E的标准方程， （2）若 ， ，四边形ABCD内接于椭圆E， ，记直线AD，BC的斜率分别为 ， ，求证: 为定值. 【变式训练2-1】、设椭圆 的离心率为 ，且经过点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 与椭圆 交 两点， 是坐标原点，分别过点 作 ， 的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆 上，判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 知识点三 最值问题 例3．（2020·河南省安阳市高三一模（文）过抛物线 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， ，若 ，则 的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-1】、在平面直角坐标系中，动点 在椭圆 上运动，则点 到直线 的距离的最大值为______． 【变式训练3-2】、过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，以 ， 两点为切点分别作抛物线 的切线 ， ，设 与 交于点 . （1）求 ； （2）过 ， 的直线交抛物线 于 ， 两点，证明： ，并求四边形 面积的最小值. 知识点四 范围问题 例4．已知点O为双曲线C的对称中心，直线 交于点O且相互垂直， 与C交于点 ， 与C交于点 ，若使得 成立的直线 有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】、已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，若双曲线上存在点P使 ，则离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ， 是 上一点，且 与 轴垂直， ， 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 ，且 的面积是 ，其中 是坐标原点. （1）求椭圆 的方程. （2）若过点 的直线 ， 互相垂直，且分别与椭圆 交于点 ， ， ， 四点，求四边形 的面积 的最小值. 1 / 12 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题07 圆锥曲线的综合性质（定点、定值、最值、范围） 知识网络 重难点突破 知识点一 定点问题 例1．已知椭圆 经过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使 ，求证：点 在定直线上. 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 （1）由题意得 ，解得 ， . 所以椭圆 的方程是 ； （2）设直线 的方程为 ， 、 、 ， 由 ，得 . ，则有 ， ， 由 ，得 ，由 ，可得 ， ， ， 综上，点 在定直线 上. 【变式训练1-1】、（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟）已知以动点 为圆心的 与直线 ： 相切，与定圆 ： 相外切. （Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程 ； （Ⅱ）过曲线 上位于 轴两侧的点 、 （ 不与 轴垂直）分别作直线 的垂线，垂足记为 、 ，直线 交 轴于点 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，且 ，证明：直线 过定点. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 （Ⅰ）设 ， 半径为 ，则 ， ，所以点 到直线 的距离与到 的距离相等，故点 的轨迹方程 为 . （Ⅱ）设 ， ，则 、 设直线 ： （ ）代入 中得 ， ∵ 、 ∴ 又 ∴ ∴直线 恒过 。 知识点二 定值问题 例2．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ，M是椭圆E上的一个动点，且 的面积的最大值为 . （1）求椭圆E的标准方程， （2）若 ， ，四边形ABCD内接于椭圆E， ，记直线AD，BC的斜率分别为 ， ，求证: 为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值 . 所以 ，所以 ， ， 故椭圆E的标准方程为 . （2）根据题意可知 ， ，因为 ， 所以可设直线CD的方程为 . 由 ，消去y可得 ， 所以 ，即 . 直线AD的斜率 ， 直线BC的斜率 ， 所以 EMBED Eq