第八章 立体几何初步（B卷素养提升卷）-2020-2021学年新教材高一数学必修第二册【创新教程】五维课堂同步单元双测卷（人教A版）

(２)证明:取 AB 的中点G,连接EG,FG,如图． 因为E,F 分别是A１C１,BC 的中点, 所以FG∥AC,且FG＝１２AC． 因为 AC∥A１C１,且 AC＝A１C１, 所以FG∥EC１,且FG＝EC１． 所以四边形FGEC１ 为平行四边形． 所以C１F∥EG． 又因为EG⊂平面 ABE,C１F⊄平面 ABE, 所以C１F∥平面 ABE． (３)解:因为 AA１＝AC＝２,BC＝１,AB⊥BC, 所以 AB＝ AC２－BC２＝ ３ 所以三棱锥E－ABC 的体积V＝ １３S△ABC 􀅰AA１＝ １ ３× １ ２× ３×１×２＝ ３ ３． ２２．解:(１)线段BC 的中点就是满足条件的点P． 证明如下: 取 AB 的中点F,连接 DP,PF,EF,则 FP∥AC,FP ＝１２AC , 取 AC 的 中 点 M ,连 接 EM,EC,因 为 AE＝AC 且 ∠EAC＝６０°, 所以△EAC 是 正 三 角 形,所 以 EM ⊥AC．所 以 四 边 形EMCD 为矩形, 所以ED＝MC＝１２AC． 又因为ED∥AC,所以ED∥ FP 且ED＝FP, 所以四边形EFPD 是平行四边形,所以 DP∥EF, 而EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,所以DP∥平面 EAB． (２)过C 作CG∥AB,过B 作BG∥AC,CG∩BG＝G, 连接GD． 因为ED∥AC,所以 ED∥BG,所 以 B,E,D,G 四 点 共面, 所以平面EBD 与平面ABC 相交于BG, 因为CD⊥AC,平 面 ACDE⊥ 平 面 ABGC,所 以 CD ⊥平面 ABGC, 又因为BG⊂平面 ABGC,所以BG⊥CD, 又BG⊥GC,CD∩GC＝C,所 以 BG⊥ 平 面 CDG,所 以BG⊥DG, 所以∠DGC 是 平 面EBD 与 平 面 ABC 所 成 的 锐 二 面角θ,设 AB＝AC＝AE＝a, 则 GC ＝AB ＝a,DC ＝EM ＝ ３２a ,所 以 GD ＝ a２＋ ３ ２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ７２a , 所以cosθ＝cos∠DGC＝GCGD＝ ２ ７ ７ ． 第八章　立体几何初步 (B卷) １．C　[只有 C 正确．] ２．D　[∵△ABC 的直 观 图 是 等 腰 直 角 三 角 形A′B′C′, ∠B′A′C′＝９０°,A′O′＝１,∴A′C′＝ ２．根 据 直 观 图 平 行于y 轴 的 长 度 变 为 原 来 的 一 半,∴ △ABC 的 高 为 AC＝２A′C′＝２ ２．故选 D．] ３．C　[因为S小球 ＝４π􀅰１９２,S大球 ＝４π􀅰２０２,所以S小球 ∶ S大 球 ＝(４π􀅰１９２)∶(４π􀅰２０２)＝１９２∶２０２．] ４．D　[因为 m⊥α,l⊥m,l⊄α,所 以l∥α．同 理 可 得l∥ β．又因为 m,n 为异面直线,所以α与β 相交,且l平行 于它们的交线．故选 D．] ５．D　[设 正 方 体 的 棱 长 为a,则 棱 锥 的 体 积V１＝ １ ３ × １ ２×a×a×a＝ a３ ６ ,又 正 方 体 的 体 积 V２＝a３,所 以 V１∶V２＝１∶６．] ６．C　[取AC 的中点E,CD 的中点F,则EF＝１２ ,BE＝ ２ ２ ,BF＝ ３２ ,∴ △BEF 为 直 角 三 角 形,cosθ＝EFBF ＝ ３３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６６ 数学 A 版􀅰必修第二册 ７．C　[球心O 为AC 中点,半径为 R＝ １２AC＝ ５ ２ ,V＝ ４ ３πR ３＝１２５π６ ． ] ８．C　 [由 题 意 知,正 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 半 径 为 ２２－１２＝ ３,则 AB＝３,过点 E 的截 面 面 积 最 小 时, 截面是以 AB 为 直 径 的 圆,截 面 面 积 S＝π× ３２( ) ２ ＝９π４． ] ９．BD　[棱柱的侧面都是四边形,A 不正确;正方体和长 方体都是特殊的四棱柱,B正确;不是所有几何体的表 面都 能 展 开 成 平 面 图 形,球 不 能 展 开 成 平 面 图 形,C 不正确;棱柱的侧棱都相等,所以