3.2.1 双曲线及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1 双曲线及其标准方程 知识储备 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 2．双曲线的标准方程 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 典例剖析 1．(2020·绵阳联考)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为. 2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　) A. －y2＝1 B. －y2＝1 C. －＝1 D．x2－＝1 【答案】B 【解析】法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)． 设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)， 因为双曲线过点P(2,1)， 所以，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1. 法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为－y2＝1. 3．过双曲线C： (a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为. 4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________． 【答案】 【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为. 5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________． 【答案】 【解析】设所求双曲线的标准方程