3.1.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆及其标准方程 知识储备 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 2．椭圆的标准方程 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 典例剖析 [典例精析] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. (2)已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． [解析]　(1)设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为. (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2， ∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3. (3)椭圆方程化为， 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. [答案]　(1)D　(2)3　(3)6＋　6－ 　　 1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________． 解析：由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a＋2c＝18， 所以a－c＝1，解得a＝5， 故椭圆方程为. 答案： 2．(变条件)将本例(2)中的条件“