专题02 反比例函数中的有关最值问题-2020-2021学年九年级数学下册难点突破（人教版）

专题02 反比例函数中的有关最值问题 k的几何意义与反比例函数对称性 1.如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、， 那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。 2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积 1、如图，已知一次函数y＝x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、C与反比列函数y＝的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9． （1）点A的坐标为　 　，点C的坐标为　 　，点P的坐标为　 　； （2）已知点Q在反比例函数y＝的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M使得△PQM的周长最小，求出点M的坐标． 【答案】(1)（﹣4，0），（0，2），（2，3）；(2)当△PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0） 【解析】 【分析】 （1）求直线与坐标轴的交点坐标时,令横纵坐标等于零即可求出A,C的坐标,再利用P为直线与双曲线的交点和△ABP的面积为9列出二元一次方程组求出P点坐标即可, （2）根据题意作出Q的对称点Q′,连接PQ′交x轴于点M,求出解析式,即可求出点M的坐标. 【详解】 （1）当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣4， 当x＝0时，y＝2， ∴点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）， 设点P的坐标为（a，b）（a＞0）， 则，解得：，（舍去）， ∴点P的坐标为（2，3）， 故答案为：（﹣4，0），（0，2），（2，3）； （2）如图，作点Q关于x轴的对称轴Q′，连接PQ′，与x轴交于点M，连接QM，此时△PQM的周长最小． ∵点P（2，3）在反比例函数y＝图象上， ∴k＝2×3＝6，即反比例函数解析式为y＝， ∴点Q的坐标为（6，1），点Q′的坐标为（6，﹣1）， 设直线PQ′的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将点P（2，3），Q（6，1）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线PQ′的解析式为：y＝﹣x+5， 当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝5， ∴点M的坐标为（5，0）， ∴当△PQM的周长最小时，点M的坐标为（5，0）． 2、如图，一次函数y＝－x＋6的图像与反比例函数y＝(k>0)的图像交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM的面积为2.5. （1）求反比例函数的表达式； （2）在y轴上有一点P，当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）P(0，). 【解析】 【分析】 （1）根据反比例系数和三角形面积关系，求出k，即可；（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点．由两个函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式.,再求出P的坐标. 【详解】 解：(1)设A（m,n），则 ∵S△AOM＝2.5，∴|k|＝2.5. ∵k>0，∴k＝5，∴反比例函数的表达式为y＝ (2) 如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点． ∵A，B是两个函数图象的交点， ∴ 解或 ∴A(1，5)，B(5，1)，∴C(－1，5)． 设yBC＝kx＋b， 代入B，C两点坐标得 解得 ∴yBC＝－x＋，∴P(0，)， 3、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）． （1）k1＝　 　，k2＝　 　，b＝　 　． （2）直接写出不等式y2＞y1的解集； （3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值． 解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上， ∴k2＝m＝2×1＝2， ∴A（1，2）， 则，解得：， ∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3； 故答案为：﹣1，2，3； （2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2； （3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2， ∵PD＝﹣x+3，OD＝x， 则， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围； （3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标． 解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为； 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得， 解得， ∴一