【新教材】6.4.1～2 平面向量的应用 学案--吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册
长春市第八中学
6.4.1-2 平面向量的应用
【新知初探】
要点一 向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝
＝
.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝
.
思考 △ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC.
要点二 直线的方向向量
(1)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ；直线y＝kx＋b的方向向量为 ．
(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为v1＝(1,k1)，v2＝(1,k2)．
当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k1、k2表示cos θ的夹角公式：
cos θ＝
＝
.
思考1 已知直线l：2x－y＋1＝0，在下列向量：
① v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝
；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________.
思考2 直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为________；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为________．
要点三 直线的法向量
(1)直线Ax＋By＋C＝0的法向量为 ；直线y＝kx＋b的法向量为 ．
(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．
当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合．即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合；
当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.
思考 直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，则a的值为________．
要点四 平面向量的线性运算在物理中的应用
(1)力、速度、位移的合成就是向量的 ，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
(2)力、速度、位移的分解就是向量的 ，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则．
(3)动量mv就是 ，符合 向量的运算律．
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思考 请利用向量的方法解决下列问题：
如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．
要点五 平面向量的数量积在物理中的应用
物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．
思考 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
【题型通关】
题型一 向量在平面几何中的应用
例1 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
跟踪训练1 已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
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题型二 向量在解析几何中的应用
例2 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
跟踪训练2 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标．
题型三 平面向量的综合应用
例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求
的值．
跟踪训练3 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.
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