【新教材】6.4.1～2　平面向量的应用 学案--吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

长春市第八中学 6.4.1-2　平面向量的应用 【新知初探】 要点一　向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ . (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ . (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))). (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝eq \r(x2＋y2). 思考　△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．求证：MN∥BC. 要点二　直线的方向向量 (1)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ；直线y＝kx＋b的方向向量为 ． (2)应用直线的方向向量求两直线的夹角 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向量依次为v1＝(1,k1)，v2＝(1,k2)． 当v1⊥v2，即v1·v2＝1＋k1k2＝0时，l1⊥l2，夹角为直角；当k1k2≠－1时，v1·v2≠0，直线l1与l2的夹角为θ(0°<θ<90°)．不难推导利用k1、k2表示cos θ的夹角公式： cos θ＝eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)＝eq \f(|1＋k1k2|,\r(1＋k\o\al(2,1))·\r(1＋k\o\al(2,2))). 思考1　已知直线l：2x－y＋1＝0，在下列向量： v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))；④v4＝(－2，－4)．其中能作为直线l方向向量的有：________. 思考2　直线x－2y＋1＝0与直线2x＋y－3＝0的夹角为________；直线2x－y－1＝0与直线3x＋y＋1＝0的夹角为________． 要点三　直线的法向量 (1)直线Ax＋By＋C＝