5.1导数的概念及意义-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义

5.1 导数的概念及意义 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 （1）定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝ eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx). （2）几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率 2、函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数 称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数. 题型一 增量 例1　已知函数y＝f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2 D．3－Δx 【答案】D 【分析】 先计算Δy，再求 . 【详解】 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ ＝－Δx＋3.选D. 已知函数 的图像上的一点 及邻近一点 ，则 ______． 【答案】 【分析】 代入B点坐标解得 ,再求比值. 【详解】 ∵ ， ∴ ． 题型二 变化率 例 2　直线运动的物体，从时刻到 时，物体的位移为 ，那么 为( ) A．从时刻 到 时，物体的平均速度 B．从时刻 到 时位移的平均变化率 C．当时刻为 时该物体的速度 D．该物体在 时刻的瞬时速度 【答案】D 【分析】 根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案. 【详解】 根据题意，直线运动的物体，从时刻 到 时，时间的变化量为 ，而物体的位移为 ，那么 为该物体在 时刻的瞬时速度. 故选：D. 物体自由落体的运动方程为s(t)＝ gt2，g＝9.8 m/s2，若Δt→0时， →9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1