第12期 24.4解直角三角形-【数理报】2021中考数学一轮复习(华东师大版)(答案见第14期)

书书书 在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学 会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某 些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素 （边、角）之间的关系，这样才能更好地运用解直角三角 形的方法求解． 一、仰角、俯角的问题 例１　如图１，大楼 ＡＢ右侧有一 障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 ＤＥ，在小楼的顶端 Ｄ处测得障碍物边 缘点Ｃ的俯角为３０°，测得大楼顶端Ａ 的仰角为４５°（点 Ｂ，Ｃ，Ｅ在同一水平 直线上），已知ＡＢ＝８０ｍ，ＤＥ＝１０ｍ， 求障碍物Ｂ，Ｃ两点间的距离（结果精 确到０．１ｍ，参考数据：槡２≈１．４１４，槡３ ≈１．７３２）． 解：如图２，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于 点Ｆ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＤＦ于点Ｈ．则ＢＥ ＝ＤＦ，ＢＦ＝ＣＨ ＝ＤＥ＝１０ｍ．在 Ｒｔ△ＡＤＦ中，因为ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝７０ｍ， ∠ＡＤＦ＝４５°，所以ＤＦ＝ＡＦ＝７０ｍ． 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，因为 ＤＥ＝１０ｍ， ∠ＤＣＥ＝３０°，所以 ＣＥ＝ ＤＥ ｔａｎ３０° ＝ 槡１０３ｍ．所以ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ≈５２．７ｍ． 答：障碍物Ｂ，Ｃ两点间的距离约为５２．７ｍ． 二、方位角的问题 例 ２　 由我国完全自主设 计，自主建造的首艘国产航母于 ２０１８年５月成功完成首次海上试 航任务．如图３，航母由西向东航 行，到达Ｂ处时，测得小岛Ａ在北 偏东６０°方向上，航行２０海里到 达Ｃ点，这时测得小岛Ａ在北偏东３０°方向上，小岛Ａ周 围１０海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航 行，有没有触礁危险？请说明理由． 解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁 的危险．理由如下： 过点Ａ作 ＡＤ⊥ ＢＣ，垂足为点 Ｄ，根据题意可知 ∠ＡＢＣ＝３０°，∠ＡＣＤ＝６０°， 因为∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＣ＝３０° ＝∠ＡＢＣ，所以ＣＢ＝ＣＡ＝２０海里． 在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中，∠ＡＤＣ ＝ ９０°，∠ＡＣＤ ＝ ６０°， ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝ ＡＤ ＡＣ ，所以ｓｉｎ６０°＝ＡＤ ２０ ， 所以ＡＤ＝２０×ｓｉｎ６０°＝２０×槡３ ２ ＝ 槡１０３海里 ＞ １０海里． 所以航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的 危险． 书书书 上期２版 ２４．１测量 基础训练 １．Ｄ；　２．Ｄ． ３．设路灯的高度ＡＢ为ｘ米，ＢＣ为ｙ米． 因为△ＡＢＤ∽△ＧＣＤ，所以 ＡＢ ＣＧ ＝ＢＤ ＣＤ ． 所以 ｘ １．５ ＝ｙ＋１ １ 　①． 同理， ｘ １．５ ＝ｙ＋３＋２ ２ 　②． 由①②易求得ｘ＝６，ｙ＝３． 所以路灯的高度ＡＢ为６米． ２４．２直角三角函数的性质 基础训练 １Ｃ；　２．Ｄ；　３．４；　４．槡７． ５．（１）因为∠ＢＡＤ＝１５°，∠ＡＤＣ＝４∠ＢＡＤ，所以 ∠ＡＤＣ＝６０°．所以∠Ｂ＝∠ＡＤＣ－∠ＢＡＤ＝４５°． （２）过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ于Ｅ，连结ＥＢ．所以∠ＥＣＤ＝ ９０°－∠ＥＤＣ＝３０°．所以ＤＣ＝２ＥＤ．因为ＤＣ＝２ＢＤ，所 以ＥＤ＝ＢＤ．所以∠ＤＢＥ＝∠ＥＣＤ＝３０°．所以∠ＥＢＡ ＝∠ＡＢＣ－∠ＤＢＥ＝１５°＝∠ＢＡＤ．所以 ＡＥ＝ＥＣ＝ ＥＢ．所以∠ＣＡＤ＝４５°＝∠Ｂ． ２４．３．１锐角三角函数（第一课时） 基础训练 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．５ １３ ；　４． 槡２ １３ １３ ；　５．１ ２ ． ６．过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＣ于Ｈ，因为Ｓ△ＡＢＣ ＝２７，所以 １ ２ ×９×ＡＨ＝２７．所以ＡＨ＝６．因为ＡＢ＝１０，所以ＢＨ＝ ＡＢ２－ＡＨ槡 ２ ＝ １０２－６槡 ２ ＝８．所以ｔａｎＢ＝ＡＨ ＢＨ ＝６ ８ ＝ ３ ４ ． ２４．３．１锐角三角函数（第二课时） 基础训练 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．１０５°． ５．（１）槡３ １２ ；　（２）５ ２ －槡３ ３ ． 能力提高 １．延长ＡＤ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，由 ＡＢ＝２００ｍ，∠Ａ＝６０°，得ＢＥ＝ＡＢ·ｔａｎＡ＝ 槡２００３ｍ， ＡＥ＝ ＡＢ ｃｏｓ６０° ＝４００ｍ．在Ｒｔ△ＣＤＥ中，由ＣＤ＝１００ｍ， ∠ＣＥＤ＝９０°－∠Ａ＝３０°，得ＣＥ＝２ＣＤ＝２００ｍ，ＤＥ＝ ＣＤ ｔａｎ∠ＣＥＤ ＝ 槡１００３ｍ．所以 ＡＤ＝ＡＥ－ＤＥ＝４００－ 槡１００３≈２２７ｍ，ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ＝ 槡２００３－２００≈１４６ｍ． ２４．３．２用计算器求锐角三角函数值 基础训练　 １．Ｃ；　２．１０°１６′；　３．３８°４９′． 能力提高 １．过Ｂ作ＢＦ⊥ＤＥ，交ＤＥ的延长线于Ｆ．在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，斜边ＡＢ＝２００ｍ，∠α＝１６°，所以ＢＣ＝ＡＢ·ｓｉｎα＝ ２００×ｓｉｎ１６°≈５５ｍ．在Ｒｔ△ＢＤＦ中，斜边ＢＤ＝２００ｍ， ∠β＝４２°，所以 ＤＦ＝ＢＤ·ｓｉｎβ＝２００×ｓｉｎ４２°≈ １３４ｍ．因此缆车垂直上升的距离是ＢＣ＋ＤＦ＝１８９ｍ． 答：缆车垂直上升