第二章代数与方程（4）（二次根式）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用） 第二章代数与方程（4） 知识梳理 1．代数式（a≥0）叫做二次根式．读作“根号a”，其中a是被开方数． 2．性质1 （a≥0）．性质2 （a≥0）；性质3 （a≥0，b≥0）．性质4 （a≥0，b＞0）． 3．被开方数中个因式的指数都为1，且不含分母的二次根式叫做最简二次根式． 4．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 5．两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 6．把分母中的根号化去，叫做分母有理化．两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式． 【总结】注意二次根式存在的意义，一般作为隐含条件； 二次根式的化简及除法与分母有理化的过程要注意区分； 二次根式的运算的结果需要化为最简二次根式． 例题精讲 【题型一·二次根式定义】 【例1】如果，那么（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例2】如果二次根式有意义，那么的取值范围是 ． 【参考答案】． 【题型二·同类二次根式】 【例1】下列二次根式中，的同类二次根式是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例2】在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【题型三·化简二次根式】 【例1】下列二次根式中最简二次根式是（ ） ．； ． ； ．； ．． 【参考答案】． 【例2】下列二次根式中，最简二次根式是（ ） ．； ．； ．； ． 【参考答案】． 【题型四·二次根式计算】 【例1】下列运算一定正确的是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 【例2】（本题满分10分） （1）计算：； （2）若，求（1）中代数式的值． 【参考答案】 （1）原式= 3分 = 2分 （2）∵， 1分，1分 ∴， 1分，1分 ∴原式= = 1分 真题训练 1.（2018•上海）下列计算的结果是　　 A．4 B．3 C． D． 【分析】先化简，再合并同类项即可求解． 【解答】解： ． 故选：． 模拟题专练 1.（2019•静安区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【解答】解：与是同类二次根式的是， 故选：． 2.（2019秋•松江区期末）下列二次根式中最简二次根式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式为最简二次根式，符合题意， 故选：． 3．（2020•静安区一模）已知，，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】将、直接代入，利用平方差公式求值即可． 【解答】解：，， ， 故选：． 4．（2018•杨浦区三模）下列式子中，与互为有理化因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案． 【解答】解： ， 与互为有理化因式的是：， 故选：． 5．（2019秋•松江区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答． 【解答】解：、，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 、，被开方数是3，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意． 、，被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 、和的被开方数分别是、，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：． 6．（2019秋•静安区月考）下列各式中计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质对各选项化简可进行判断． 【解答】解：、原式，所以