第二章 章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

一、不等式的性质 不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了. [例1]　若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a>b中，正确的不等式有________. [解析]　a＝－1，b＝－2，排除②③. [答案]　①④ 1.已知a<0，b>0，那么下列不等式中一定成立的是 A.b－a<0　　　　　　 B.|a|>|b| C.a2<ab D.< 解析　若a<0，b>0，则－a>0， 则b－a>0，故A不成立； |a|>|b|不一定成立，如a＝－5，b＝6，故B不成立； ∵a<0，b>0，∴a2>0>ab，故C不成立， <0，>0，则<，成立，故D正确， 故选D. 答案　D 二、基本不等式 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立. 角度1　通过配凑法求最值 [例2－1]　已知0＜x＜1，则x(3－3x)的最大值为 A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. [解析]　∵0＜x＜1， ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立. [答案]　C 角度2　通过常值代换法求最值 [例2－2]　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式＋的最小值为 A.24 B.25 C.26 D.27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0， 即2a＋3b＝1， 所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.故选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 [例2－3]　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________. [解析]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，则1＋z＝，于是s＝＝≥＝≥＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号. [答案]　4 2.设x<－1，求f(x)＝的最大值. 解析　∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴f(x)＝＝ ＝＝(x＋1)＋＋5 ＝－＋5≤－2＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”， 所以f(x)的最大值为1. 三、二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. [例3]　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解析]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}. 3.若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________. 解析　因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根， 且m>1⇒⇒ 答案　2 恒成立问题中忽略二次项系数为零致误 [典例]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. [解析]　因为a＝2时，原不等式为－4＜0， 所以a＝2时恒成立. 当a≠2时，由题意得 即 解得－2＜a＜2. 综上两种情况可知－2＜a≤2. 基本不等式使用中的失分点 [典例]　(12分)设x，y为正数，求(x＋y)的最小值. [审题指导]　先对式子展开，然后利用基本不等式求解. [规范解答]　(x＋y) ＝1＋4·＋＋4(3分) ＝5＋＋(5分) ≥5＋2 ＝9，(9分) 当且仅当4·＝②，(11分) 即y＝2x时等号成立. (12分) $$