2.2.2 基本不等式的综合应用-2020-2021学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版（word）

第2课时　基本不等式的综合应用 学业标准 学科素养 1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(重点) 2.会用基本不等式解决实际问题.(难点) 1.借助基本不等式求最值，提升数学运算和逻辑推理核心素养. 2.通过基本不等式的实际应用，培养数学建模数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学　基本不等式求最值 [问题]　已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能. ∵0<x<1，∴1－x>0， 又∵≥，∴ab≤， ∴x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，f(x)有最大值. ◎结论形成 已知x，y都是正数 和定积最大 若x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 积定和最小 若xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. [基础自测] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥均成立； (2)若x＞1，则x＋≥1； (3)a，b异号时，＋≤－2； (4)当x≥2时，x＋的最小值为2. 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　∵0<x<1，∴1－x>0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号. 答案　A 3.已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________. 解析　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”. 答案　20 4.若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________. 解析　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立. 答案　 题型一　利用基本不等式求最值 [例1]　(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值. [自主解答]　(1)∵y＝＝x＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立. 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)解法一　∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立. ∴当x＝时，函数取得最大值. 解法二　∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3· ＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立. ∴当x＝时，函数取得最大值. [规律方法] 1.应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件. 2.此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性.常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等. [触类旁通] 1.已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值. 解析　∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. 题型二　求有约束条件的最值 [例2]　已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值. [自主解答]　解法一　＋＝·1 ＝·(a＋2b) ＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当即时等号成立. ∴＋的最小值为3＋2. 解法二　＋＝＋＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当， 即时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. [素养聚焦]　通过解决含有条件的最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. [规律方法] 1.本题在解答中要注意使＋取最小值所对应a，b的值也要一并解出来. 2.解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值. [触类旁通] 2.(1)已知x>0，y>0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值； (2)已知x>0，y>0，＋＝1，求x＋y的最小值. 解析　(1)∵x>0，y>0，2x＋3y＝6， ∴xy＝(2x·3y)≤·＝·＝，当且仅当2x＝3y，2x＋3y＝6， 即x＝，y＝1时，xy取到最大值. (2)∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)× ＝1＋＋＋9＝＋＋10， 又∵x>0，y>0， ∴＋＋10≥2 ＋10＝16， 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立. 由得 即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 [例3]　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设