精讲04 指数函数与对数函数-2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版必修第一册）（精炼篇）

专题04指数函数与对数函数 【专题综述与核心素养要求】 指数函数与对数函数是一对密切配合的函数，它们互为反函数，是最基本、应用最广泛的两类函数，是进一步学习数学的基础.利用代数运算和函数图象数形结合地研究指数函数、对数函数的性质，不仅能使学生理解这两个函数所蕴含的运算规律，掌握通过图象直观（定性）和数学运算（定量）获得函数性质的方法，而且有助于学生进一步理解函数概念，感受函数所蕴含的数学基本思想和方法.通过利用指数函数和对数函数建立数学模型解决实际问题的训练，可以使学生进一步掌握用函数刻画运动变化现象的思想方法，理解函数模型是刻画客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，积累数学活动经验. 在“预备知识”主题中，学生经历了梳理二次函数知识，学习用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，进而用二次函数的性质研究一元二次不等式的解的过程，从中感悟了数学知识之间的关联，认识了函数的重要性.在“函数概念与性质”一章的学习中，学生经历了分析具体实例、归纳共同特征、抽象概括函数的一般概念的过程，知道了函数不仅可以理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，更一般地，函数是两个实数集之间的对应关系，感悟了数学抽象的层次性；在已有的通过图象直观研究函数性质的经验基础上，进一步学习了用代数运算揭示函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质的方法；通过“幂函数”的学习，学生初步理解了研究一类函数的内容、过程（定义、表示—图象与性质—应用）和方法.本章将在这些学习的基础上展开. 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：指数函数的定义 函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 理解指数函数的定义需注意几个问题： ①指数含（，且）解析式的结构特征： i.的系数为1； ii.底数是大于0且不等于1的常数. ②规定底数大于零且不等于1的理由： 如果，当 如果，比如，这时对于，，，在实数范围内函数值不存在. 如果，则是一个常量，对它就没有研究的必要了. 为了避免上述各种情况，所以规定且. 基础知识点二：指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时， 单调性 在上减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 基础知识点三：对数的定义、性质与对数恒等式 定义 一般地，如果（且）的次幂等于，即，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做对数的真数 性质 负数和0无对数 1的对数等于0，即（，且） （，且） 提醒（，且）. （1）对数恒等式 （，且，）. 证明：设（，且），根据对数与指数间的关系得，将其代入，得. 温馨提示 公式称为对数恒等式，在应用时，注意公式的结构特点及各字母的取值范围，即，且，. （2）指数与对数的关系 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 当，且时，. 用图表示为： 基础知识点四：对数的运算法则 如果，且，，，，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数 基础知识点五：对数函数的定义、图象和性质 一般地，函数（，且，）叫做对数函数，对数函数（，且，）的图象和性质如下表所示： 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 基础知识点六：底数对对数函数图象的影响 （1）设，，其中，（或，）， 当时“底打图低”，即若，则； 当时“底打图高”，即若，则. 这一性质可通过下图帮助理解，其中，，，，分别是函数，，，的图象，则必有. （2）在同一坐标系中，（，）的图象与（，）的图象关于轴对称. 基础知识点七：对数函数与指数函数的关系 （1）函数（，且）与（，且）互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线对称. （2）函数（，且）与（，且）都是单调函数，都不具有奇偶性. 当时，它们是增函数；当时，它们是减函数. （3）指数函数与对数函数的对比 指数函数 （且） 对数函数 （且） 定义域 值域 图象 性质 当时， 当时， 当时，函数单调递增. 当时，； 当时， 当时，函数单调递增. 当时，； 当时， 当时，