4.3.1　第二课时　等比数列的性质及应用（作业）-【上好课】2020-2021学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4．3.1　第二课时　等比数列的性质及应用(习题课) [A级　基础巩固] 1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　) A．－24　　　　　　　　　　 B．0 C．12 D．24 解析：选A　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　) A. D． C. D． 解析：选D　法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得a＝6. ∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5. 解得q＝，∴＝＝2＝. 法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1. ∵a2·a8＝a4·a6＝6， ∴则或(舍)． ∴q2＝＝， ∴＝＝. 3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　) A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000 解析：选C　∵a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10 000，故选C. 4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　) A．a1＝1　　　　　　　　　 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1 解析：选B　由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1. 5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选C　等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8. 6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． 解析：设此三数为3，a，b，则 解得或所以这个未知数为3或27. 答案：3或27 7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________. 解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18. 答案：18 8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)， 则第10个正方形的面积S＝a＝2＝211＝2 048. 答案：2 048 9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q. 解：法一：由条件得 由②得a＝512，即a7＝8. 将其代入①得2q8－5q4＋2＝0. 解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±. 法二：∵a3a11＝a2a12＝a， ∴a＝512，即a7＝8. 于是有 即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16. 因此或 又∵a11＝a3·q8， ∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝± . 10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． 解：∵a1a5＝a，a3a7＝a， ∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36， 同理得a＋2a3a5＋a＝100， ∴即 解得或 分别解得或 ∴an＝2n－2或an＝26－n. [B级　综合运用] 11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　) A．230 B．210 C．220 D．215 解析：选C　∵a1·a2·a3·…·a30＝230， ∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230， ∴a1＝2－， ∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3) ＝(2－×22)10×(23)45＝220. 12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选B　∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2， ∴ ∵a1＞1，∴ 由a6a7＞1得a1a12＝a2a11