4.4数学归纳法-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修二同步讲义

4.4 数学归纳法 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、数学归纳法 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立． 2、用数学归纳法证题的步骤： (1)证明当n取第一个值n0 (例如n0＝0或n0＝1)时，命题{p(n)}正确； (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真； (3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确． SHAPE \* MERGEFORMAT 题型一 数学归纳法中项的问题 例1　用数学归纳法证明 的过程中，当 从 到 时，等式左边应增乘的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 观察从 到 时，等式左边的变化，通过比较可得出结果. 【详解】 当 时，等式左边 ， 当 时，等式左边 ， 因此，当 从 到 时，等式左边应增乘的式子为 . 故选：C. 利用数学归纳法证明“ ”时从“ ”变到“ ”时，左边应增加的项是______________. 【答案】 【分析】 考查等式两侧的特点，写出左侧 和 的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项． 【详解】 当 时，等式为 ， 当 时，等式为 ， 因此，从“ ”变到“ ”时，左边应增加的项是 . 故答案为： . 题型二 数学归纳法 例 2　已知数列 中， 是 的前 项和且 是 与 的等差中项，其中 是不为 的常数. （1）求 . （2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 【答案】（1） ； ； （2）猜想： ；证明见解析 【分析】 (1) 由已知条件可得到 ，再把 、 、 代入即可求出 ； (2) 根据(1)的 猜想出 的表达式，然后利用数学归纳法证明猜想的结论是正确的. 【详解】 解：（1）由题意知： 即 ， 当 时， ，解得 . 当 时， ，解得 . 当 时， ，解得 . （2）猜想： 证明：①当 时，由（1）知等式成立. ②假设当 时等式成立，即 ， 则当 时，又 则 ， ， ∴ ， 即 所以 ， 即当 时，等式成立. 结合①②得 对任意 均成立. 设数列 的前 项和为 ，且对任意的正整数 都满