专题04 《勾股定理》-期末挑重点之2020-2021学年上学期八年级数学（华师大版）

专题04勾股定理 勾股定理与勾股定理的逆定理 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2 = c2 如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2 = c2那么这个三角形是直角三角形 题设 直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c 三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2 = c2 结论 a2+b2 = c2 这个三角形是直角三角形 备注 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法 2.勾股定理的证明用拼图方法，借助面积的不变关系来证明． 3.勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系； （3）用于证明含有平方关系的式子； （4）借助勾股定理来构造方程，解决实际问题． 4.运用勾股定理逆定理解题的步骤： （1）确定最大边（如）； （2）验证a2+b2与c2是否有相等关系：若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形． 5.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 考点1：求线段长 例1（2020绥化）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2，BC=8，则AB的长是 　． 在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解. 【答案】17. 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8， ∴AC2+BC2=AB2， 即（AB-2）2+82=AB2 解得AB=17. 故答案为：17. 【名师点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其中直接三角形中的形式. 考点2：求m的值 例2（2020绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧， 两弧交于点D，连结BD．若BD的长为，则m的值为 　． 【答案】2或2. 【解析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=，当点D，B在AC的两侧时，如图，当点D，B在AC的同侧时，如图，解直直角三角形即可得到结论. 由作图知，点D在AC的垂直平分线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴点B在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC， 设垂足为E， ∵AC=AB=2, ∴BE= 当点D，B在AC的两侧时，如图， ∵BD=2， ∴BE=DE， ∴AD=AB=2， ∴m=2； 当点D，B在AC的同侧时，如图， ∵BD/=2 ∴D/E=3， ∴AD/=， ∴m=2， 综上所述：m的值为2或2， 答案为：2或2. 【名师点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质.正确的作出图形是解题的关键. 考点3：直角三角形的判定 例3（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【解析】根据题意可知三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题. 解：当选取的三块纸片的面积分别是1， 4， 5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4， 5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2， 2， 4时，围成的直角三角形的面积是； ∵， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2， 3， 5. 故选：B. 【名师点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答. 考点4：求四边形的面积 例4（2020宁夏）2020年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较此直角边为b，如果将四个全等的直角三角形按（图2）形式摆放，那么图中最大的正方形的面积为（ ） 【答案】27 【解析】根据题意得出a2+b2=15，（b-c）2=3，图中大正方形的面