专题02《有理数》-期末挑重点之2020-2021学年上学期七年级数学（华师大版）

专题02有理数 1．有理数的分类： 2．有理数的有关概念 （1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向和单位长度称作数轴的三要素. （2）相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数. 0的相反数是0；的相反数是. 注意：如果互为相反数，则有，；反之亦成立. （3）绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点离开原点的距离. 数的绝对值记作 其性质是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①；②若，则；若，则. （4）倒数：乘积为1的两个数互为倒数，我们称其中一个数为另一个数的倒数. 注意：①的倒数通常表示为；②0没有倒数；③若互为倒数，则；反之亦成立. （5）有效数字和科学记数法 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从右边第一个不是零的数字起到右边精确到的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数字. 一般地，把一个大于10的数记成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 3．有理数的大小比较 （1）用法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小. （2）用数轴比较：在同一数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 4．有理数的混合运算 （1）有理数的运算法则： ①加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数. ②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. ③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0. 特别地，几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. ④除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数. ⑤有理数的乘方：求几个相同因数积的运算叫做乘方；乘方的结果叫幂，乘方是乘法的特例，由乘法法则知：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0. （2）运算律：① 加法交换律：；② 加法结合律：； ③ 乘法交换律：； ④ 乘法结合律：； ⑤ 乘法分配律： （3）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里边的；对于同一级运算，则按从左到右的顺序进行. 注意：①有理数的运算与小学学过的运算有一个重要的区别就是多了一个符号问题，解决问题的关键就是遵循法则，先确定符号，再算绝对值；②五条运算律是进行简便运算的依据，在混合运算中，要灵活应用运算律，有时还需将它们逆向使用. （4）运用计算器计算：在计算时要熟悉功能键盘，掌握按键顺序。在输入一个多位数时，按键顺序应是从高位到低位依次输入；做四则运算时，其按键顺序应是从左到右，可与式子书写的顺序一样. 考点一、正负数 例1（2020孝感）如果温度上升3°，记作+3℃，那么温度下降2°记作（ ） A.-2℃ B.+2℃ C.+3℃ D.-3℃ 【答案】A. 【解析】温度上升3℃记作+3℃，温度下降2℃记作-2℃. 故选A． 【名师点睛】此题考查用正负数表示两个具有相反意义的量，具有相反意义的一对量在日常生活中很常见，若一个记为“+”，则另一个记为“−”. 说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义． 考点二、相反数 例2 （2020永州）-2020的相反数是（ ） A．﹣ B．2020 C．﹣2020 D． 【答案】B． 【解析】解：-2020的相反数是2020，故选：B． 【名师点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 考点三、绝对值 例3 （2020湘潭） 的绝对值是　　 A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】根据绝对值的定义，得，故选：B． 【名师点睛】（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数–a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|=． 考点四、数轴 例4（2020临沂