第一章 1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 学习目标　1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数的取值范围． 知识点 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考　(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 答案　(1)相同，都是p⇒q.(2)等价． 2．充分条件与必要条件的判断 3．充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 A ⊈ B p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 B⊈A q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 思考　(1)“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件． (2)若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 答案　(1)充分　必要． (2)不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p也可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． 1．“x＝1”是(x－1)(x－2)＝0的________条件(填“充分”“必要”)． 答案　充分 2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件(填“充分”“必要”)． 答案　必要 3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．(填“充分”“必要”) 答案　必要 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 4．下列说法不正确的是________．(填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 答案　② 解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确． 一、充分条件的判断 例1　下列命题中，p是q的充分条件的是________(填序号)． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4. 答案　③ 解析　①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件． ③由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， ∴p是q的充分条件． 反思感悟　充分条件的两种判定方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 跟踪训练1　判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．(填序号) ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”； ③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0. 答案　①③ 解析　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件． ②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件． ③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件． 二、必要条件的判断 例2　在下列各命题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． 解　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴q是p的必要条件． (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等， ∴q不是p的必要条件． (3)∵方程x2－x－m＝0无实根， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0， 解得m<－. ∵m<－2⇒m<－， ∴q是p的必要条件． 反思感悟　必要条件判定方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围．