第一章 1.2.3 第2课时 充要条件（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

第2课时　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明． 知识点　充要条件 1．一般地，如果p⇒q且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件． 2．一般地，如果p⇏ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　) 2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) 3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　) 4．q不是p的必要条件时，“p⇏ q”成立．(　√　) 一、充分不必要、必要不充分、充要条件的判断 例1　判断下列各题中，p是q的什么条件． (1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0； (2)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． (4)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 跟踪训练1　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　) A．设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件 D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 答案　AD 解析　对于结论A，∵x>2⇒x>1，但x>1⇏ x>2，故A正确；对结论B，由于不知道斜边，所以不是充要条件；C显然不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确． 二、充要条件的证明 例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 反思感悟　充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q”； (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. 跟踪训练2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，所以ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 三、探求充要条件 例3　已知a＋b≠0，求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件． 解　由a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即 a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b) ＝(a＋b－1)(a＋b)＝0， 又∵a＋b≠0， ∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1等价于a2＋b2－a－b＋2ab＝0. ∴在a＋b≠0的条件下，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 反思感悟　探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面