专题五 椭圆的几何性质（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题五 椭圆的几何性质（专题训练） 一、单选题 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，则 由椭圆的定义，可以得到 , 在中，有，解得 在中，有 整理得，，故选C项. 2．已知正方体，P是平面上的动点，M是线段的中点，满足PM与所成的角为，则动点P的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】在正方体中，连接相交于点 所以，又平面，所以 又，所以平面 以为原点，分别为轴和轴， 然后过点作的平行线为轴 建立如图所示空间直角坐标系 设， 所以 由PM与所成的角为 所以 化简可得，即 所以点的轨迹为椭圆，故选：B 3．已知椭圆的离心率为，若面积为的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的离心率为，解得， 所以椭圆的方程为， 不失一般性，设， 由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积， 所以，即或，可得， 所以，故选：D. 4．定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（ ） A．圆 B．直线 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【解析】 如图所示： 因为，所以，因此点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆．故选：D． 5．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为， 因为，所以，即； 所以，由于，所以； 因为线段PF与圆相切于点Q， 所以，所以，所以； 因为，所以； 根据椭圆定义可得，所以有，整理得， 所以离心率.故选：B. 6．已知椭圆的两焦点，和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，不妨设在第一象限，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 则，解得， 在中由余弦定理得， ∴，，， ，　∴， ∴，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为．故选：A． 7．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对称性知在轴上，，故，，解得，， 故椭圆方程为：. 故选：D. 8．已知抛物线与椭圆交于点，若抛物线C的焦点F也是椭圆E的焦点，则实数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：对于抛物线，有， 所以抛物线C的焦点为， 所以对于椭圆E，有， 解得或， 又因，即， 所以， 所以.故选：A 9．若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（ ） A．，方程C表示椭圆 B．，方程C表示双曲线 C．，方程C表示椭圆 D．，方程C表示抛物线 【答案】B 【解析】∵当 时，方程C：即 表示单位圆 使方程 不表示椭圆．故A项不正确；∵当a 时，方程C：表示焦点在 轴上的双曲线 方程表示双曲线，得B项正确； ，方程不表示椭圆，得C项不正确 ∵不论 取何值，方程C：中没有一次项 方程不能表示抛物线，故D项不正确，综上所述，可得B为正确答案，故选B 10．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到其另一个焦点的距离等于（ ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【解析】根据题意，椭圆的标准方程为：，则其焦点在轴上，且， 若椭圆上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离为， 故选：C． 11．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得：， 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：， 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，本题选择C选项. 12．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即， 则椭圆的离心率为，故选B. 二、填空题 13．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________． 【答案】 【解析】设）， 则， 由，则， 再由B，M，Q三点共线，则， 故，故即 ， 又因为，， 即， 所以，故椭圆C的离心率是． 故答案为： 14．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_____ 【答案】 【解析】由题意