第一章 章末复习课（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

章末复习课 第一章　预备知识 内 容 索 引 知识网络 考点突破 真题体验 1 知识网络 PART ONE 2 考点突破 PART TWO 一、集合的综合运算 1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解. 2.掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； 解　∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0，或x>2}. ∵(∁RA)∪B＝R， ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}. (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾. 即这样的a不存在. 反思感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反. 跟踪训练1　已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B； 解　A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6} ＝{x|1<x≤8}. ∵∁UA ＝{x|x<2或x>8}， ∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}. (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围. 解　∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}. 二、充分条件、必要条件与充要条件 1.若p⇒q，且q不能推出p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}. q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}.且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， 反思感悟 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼. 跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“a>5”是“A⊆B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析　A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4不能推出a>5， 所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件. (2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A＝(A∩B)的充要条件为______；一个充分不必要条件可为____________________. 解析　A＝(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}. 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； a≤9 6≤a≤9(答案不唯一) 综上可知，A＝(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 三、全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含有量词的命题否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　(1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是 A.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B.∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C.∃x∈R，x2－2x＋1<0 D.∀x∈R，x2－2x＋1<0 解析　∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题， ∴命题的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1<0， 故选C. √ (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是 A.m≥1 B.m>1 C.m<1 D.m≤1 解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1. ∴实数m的取值范围是{m|m>1}. 故选B. √ 反思感悟 全称量词命题、存在量词命题真假判断 (1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可. (2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假. 跟踪训练3