第一章 §3 3.1 不等式的性质（课件）--2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第一章　§3　不等式 3.1　不等式的性质 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　基本事实 其本事实 如果a>b⇔ ； 如果a＝b⇔ ； 如果a<b⇔ . 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x. a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac bc c的符号 a>b，c<0⇒ac bc 4 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c b＋d 不可逆 > > < > 5 同向正值可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac bd； a>b>0，c<d<0⇒ac bd 不可逆 6 可开方性   n∈N＋，n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. > < 3.同向不等式相加和相乘的条件是一致的.(　　) 1.若a>b，则a－c>b－c.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ × × × 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； 一、比较大小 解　(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b). ∵a>0，b>0，且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. 反思感悟 作差法比较大小的步骤：作差—变形—判断差的符号－得出结论，需要注意的是只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式. 跟踪训练1　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小. 解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ∴x3－1<2x2－2x. 例2　(1)(多选)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式不成立的是  二、利用不等式的性质判断或证明 解析　对于A，当a＝－2，b＝－1，a2<b2不成立； 对于B，当a＝－1，b＝1时，a2b＝1，ab2＝－1，a2b<ab2不成立； √ √ √ 证明　方法一　因为c<d<0，所以－c>－d>0， 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0， 所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0， 反思感悟 (1)运用不等式的性质判断命题的真假时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其不能随意捏造性质. (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导. ①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3. 则不正确的不等式的个数是  A.0 B.1 C.2 D.3 a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. √ 三、利用不等式的性质求范围 解　∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 延伸探究 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围. 解　令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2. 而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10， ∴5≤4a－2b≤10. 反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. 跟踪训练3　已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是________. 解析　设2a－b＝x(a＋b)＋y(b－a)， 因为0<a＋b<2，－1<b－a<1， 3 随堂演练 PART THREE 1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系