第一章 §2 2.1 第2课时 充要条件（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第一章　2.1　必要条件与充分条件 第2课时　充要条件 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的 条件，记作 . 2.条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 思考　命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？ 知识点　充要条件 p⇒q q⇒p 充要 p⇔q 答案　分四类：充分且必要条件(充要条件)、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件. 1.“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件.(　　) 2.q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　) 3.若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件.(　　) 4.q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ √ √ √ 2 题型探究 PART TWO 例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； 一、充要条件的判断 解　∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件. (2)p：x>1，q：x2>1； 解　∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件. (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； 解　∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件. (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； 解　∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件. (2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； 解　由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件. (3)a是自然数；q：a是正数. 解　0是自然数，但0不是正数，故p推不出q； 故p是q的既不充分也不必要条件. 例2　“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是 A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≥2 二、充要条件的探求 解析　“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件，即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. √ 反思感悟 探求q的充要条件p，有两种方法： (1)等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证. (2)非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两个方面说明. 跟踪训练2　下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是________. ①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补；④同旁内角相等. 解析　由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立； 由④不能推出“两条直线平行”的结论. ①②③ 例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 三、充要条件的应用 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解